Quantum groupoids and deformation quantization

The purpose of this Note is to unify quantum groups and star-products under a general umbrella: quantum groupoids. It is shown that a quantum groupoid naturally gives rise to a Lie bialgebroid as a classical limit. The converse question, i.e., the quantization problem, is posed. In particular, any regular triangular Lie bialgebroid is shown quantizable. For the Lie bialgebroid of a Poisson manifold, its quantization is equivalent to a star-product. Groupöıdes quantiques et quantification par déformation Résumé Cette note a pour but d’unifier groupes quantiques et star-produits sous une même enseigne: les groupöıdes quantiques. Nous montrons que tout groupöıde quantique admet de manière naturelle une bigébröıde de Lie comme limite classique. Le problème réciproque de quantification est posé, et nous le résolvons dans le cas des bigébröıdes de Lie triangulaires régulières. Enfin, quantifier la bigébröıde associée à une variété de Poisson revient à y construire un star-produit. Version française abrégée Les tenseurs de Poisson, sous plusieurs aspects, ressemblent aux r-matrices triangulaires classiques de la théorie des groupes quantiques. La notion de bigébröıde de Lie introduite dans [13] permet d’unifier les structures de Poisson et les bigèbres de Lie. Le théorème d’intégration pour les bigébröıdes de Lie contient à la fois le théorème d’intégration de Drinfeld pour les bigèbres de Lie et le théorème de Karasev-Weinstein sur l’existence locale de groupöıdes symplectiques sur une variété de Poisson. Les groupes quantiques apparaissent comme quantification de bigèbres de Lie, alors que la quantification des strutures de Poisson se réalise à l’aide des star-produits. Il y a donc tout lieu d’espérer que ces deux objets quantiques sont intimement liés. Le but de cette note est d’établir un rapport entre starproduits et groupes quantiques dans le cadre général des groupöıdes quantiques (ou des QUE-algébröıdes), c’est-à-dire des déformations d’algébröıdes de Hopf de l’algèbre enveloppante universelle d’une algébröıde de Lie. Soit A une algébröıde de Lie, son algèbre enveloppante universelle UA possède une structure d’algébröıde de Hopf cocommutative. En particulier, lorsque A est l’algébröıde de Lie d’un fibré tangent TP, cette structure d’algébröıde de Hopf est celle de l’algèbre D(P ) des opérateurs différentiels sur P . ∗Research partially supported by NSF grants DMS95-04913 and DMS97-04391.